Question

設(shè)x軸、y軸正方向上的單位向量分別是、，坐標(biāo)平面上點(diǎn)A_n、B_n（n∈N^*）分別滿足下列兩個(gè)條件：
①且（n∈N^*，n≥2）；
②且．
（1）求及的坐標(biāo)；
（2）設(shè)，求a_n的通項(xiàng)公式；
（3）對(duì)于（Ⅱ）中的a_n，是否存在最大的自然數(shù)M，對(duì)所有n∈N^*都有a_n≥M成立？若存在，求M值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中x軸、y軸正方向上的單位向量分別是、，且，可得的坐標(biāo)，由且．可得的坐標(biāo)
（2）由已知中向量，的坐標(biāo)，代入向量數(shù)量積公式可得a_n的通項(xiàng)公式
（3）由（3）中a_n的通項(xiàng)公式，結(jié)合基本不等式可得存在最大的自然數(shù)M=6，對(duì)所有n∈N^*都有a_n≥M成立．
解答：解：（1）∵且（n∈N^*，n≥2）
∴，
又∵且．
∴
=；…（4分）
（2）由（1）中，=
∴；…（8分）
（3），
當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)取得最小值6．
所以存在最大的自然數(shù)M=6，對(duì)所有n∈N^*都有a_n≥M成立．（也可以由對(duì)號(hào)函數(shù)求解最小值）                          …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的線性運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積，基本不等式在求最值時(shí)的應(yīng)用，是平面向量與基本不等式的綜合應(yīng)用，難度中等．