已知A、B、C分別為△ABC的三個內(nèi)角,向量
m
=(tanA+tanB,sin2C),
n
=(1,cosAcosB),且
m
n

(1)求角C的大。
(2)若
AC
•(
AB
-
CB
)=25
,且△ABC的面積為10
3
,求這三角形的周長.
分析:(1)利用向量共線定理和三角函數(shù)的基本關系式、兩角和差的正弦余弦公式、三角形的內(nèi)角和定理、倍角公式即可得出;
(2)利用向量的運算法則、數(shù)量積運算、三角形的面積計算公式和余弦定理即可得出.
解答:解:(1)∵
m
n
,∴(tanA+tanB)cosAcosB-sin2C=0,
(
sinA
cosA
+
sinB
cosB
)•cosAcosB
=sin2C,化為sinAcosB+cosAsinB=sin2C,∴sin(A+B)=sin2C,
∵A+B=π-C,∴sin(A+B)=sinC,∴sinC=2sinCcosC,
∵C∈(0,π),∴sinC≠0,∴cosC=
1
2
,可得C=
π
3

(2)∵
AB
-
CB
=
AC
AC
•(
AB
-
CB
)=25
,∴
AC
2
=25
,即b2=25,解得b=5.
S△ABC=
1
2
absinC=10
3
,∴
1
2
a×5×sin
π
3
=10
3
,解得a=8.
∵c2=a2+b2-2abcosC=82+52-2×8×5×cos
π
3
=49,解得c=7.
∴這三角形的周長=a+b+c=8+5+7=20.
點評:本題綜合考查了向量共線定理和三角函數(shù)的基本關系式、兩角和差的正弦余弦公式、三角形的內(nèi)角和定理、倍角公式、向量的運算法則、數(shù)量積運算、三角形的面積計算公式和余弦定理等基礎知識與基本技能方法,屬于難題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a,b,c分別為△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊,且(b+a+c)(b-a-c)+2
3
absinC=0

(1)求B
(2)若b=2,△ABC的面積為
3
,求a,c.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,acosC+
3
asinC-b-c=0

(1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面積為
3
,證明△ABC是正三角形.

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(2013•鄭州一模)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,2bcosc=2a-c
(I)求 B;
(II)若△ABC的面積為
3
,求b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•靜安區(qū)一模)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A、B、C所對的邊長,a,b,c成等比數(shù)列.
(1)求B的取值范圍;
(2)若x=B,關于x的不等式cos2x-4sin(
π
4
+
x
2
)sin(
π
4
-
x
2
)+m>0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,acosC+
3
asinC-b-c=0

(1)求A;
(2)若△ABC的面積S=5
3
,b=5,求sinBsinC的值.

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