已知f (x)是R→R+的函數(shù)，且f (x+y)=f (x)·f (y) (x、y∈R)．

(1) 求f (0)；

(2) 求f (x)與f (－x)的關(guān)系；

(3) 證明是奇函數(shù)．

 

答案：
解析：

解：令x=0，y=0，則f (0)=[f (0)]2

∴ f (0)=0或f (0)=1．

∵ 函數(shù)f (x)的值域?yàn)?b>R+，∴ f (0)=0應(yīng)舍去，故f (0)=1．

(2) 解：令y=－x，則f (x－x)=f (x)·f (－x)，即f (0)= f (x)·f (－x)，∴ f (x)·f (－x)=1．

(3) 證：函數(shù) g (x)的定義域是f (x)≠1的x值，設(shè)為A．則對(duì)任意x∈A，則f (－x)≠1，否則(2)不成立．因而－x∈A，于是有

．

∴ 函數(shù) g (x)是奇函數(shù)．

 

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)是R上的增函數(shù)，若令F(x)=f(1-x)-f(1+x),則F(x)是R上的(    )

A.增函數(shù)                                    B.減函數(shù)

C.先減后增的函數(shù)                       D.先增后減的函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)是R上的增函數(shù),若令F(x)=f(1-x)-f(1+x),則F(x)是R上的(    )

A.增函數(shù)        B.減函數(shù)        C.先減后增的函數(shù)        D.先增后減的函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)是R上的增函數(shù)，點(diǎn)A(-1，1)和B(1，3)在它的圖像上，f-1(x)是它的反函數(shù)，那么不等式|f-1(log2x)|＜1的解集是(    )

A.{x|-1＜x＜1}                         B.{x|2＜x＜8}

C.{x|1＜x＜3}                          D.{x|0＜x＜3}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)是R上的偶函數(shù)，x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，若f(2)=2,則f(2006)=___________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且x∈(-∞,0)時(shí)，f(x)=-xlg(2-x).________________.(先在橫線上填上一個(gè)結(jié)論，然后再解答)

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