Question

已知函數(shù)．（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在曲線y=2ae^x下方，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增?f'（x）=（2a-1）e^2x+1≥0在區(qū)間（-∞，0）上恒成立，通過分離參數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（II）令，定義域為R．則在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在曲線y=2ae^x下方?g（x）＜0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性，通過對a分類討論即可得出．
解答：解：（Ⅰ）f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增，
則f'（x）=（2a-1）e^2x+1≥0在區(qū)間（-∞，0）上恒成立．                          
即，而當x∈（-∞，0）時，，故1-2a≤1．                  
∴a≥0．                                                                
（Ⅱ）令，定義域為R．
在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在曲線y=2ae^x下方等價于g（x）＜0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立．
∵g'（x）=（2a-1）e^2x-2ae^x+1=（e^x-1）[（2a-1）e^x-1]，
①若，令g'（x）=0，得極值點x₁=0，，
當x₂＞x₁=0，即時，在（x₂，+∞）上有g(shù)'（x）＞0，此時g（x）在區(qū)間（x₂，+∞）上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有g(shù)（x）∈（g（x₂），+∞），不合題意；
當x₂≤x₁=0，即a≥1時，同理可知，g（x）在區(qū)間（0，+∞）上，
有g(shù)（x）∈（g（0），+∞），也不合題意；                                          
②若，則有2a-1≤0，此時在區(qū)間（0，+∞）上恒有g(shù)'（x）＜0，從而g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；
要使g（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，
由此求得a的范圍是．                                            
綜合①②可知，當時，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ae^x下方．
點評：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識和基本方法，同時考查邏輯推理能力和分類討論的思想方法．