Question

已知函數(shù)y=f（x）的周期為2，當x∈[0，2]時，f（x）=（x-1）²，如果g（x）=f（x）-log₅|x-1|，則函數(shù)y=g（x）的所有零點之和為（　　）

Answer 1

分析：先根據(jù)函數(shù)的周期性畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，以及y=log₅|x-1|的圖象，結(jié)合圖象可得當x＞6時，y=log₅|x-1|＞1，此時與函數(shù)y=f（x）無交點，再根據(jù)y=log₅|x-1|的圖象關(guān)于直線x=1對稱，可判定函數(shù)g（x）=f（x）-log₅|x-1|的零點個數(shù)及零點之和．

解答：解：由題意可得g（x）=f（x）-log₅|x-1|，根據(jù)周期性畫出函數(shù)f（x）=（x-1）²的圖象
以及y=log₅|x-1|的圖象，
根據(jù)y=log₅|x-1|在（1，+∞）上單調(diào)遞增函數(shù)，當x=6 時，log₅|x-1|=1，
∴當x＞6時，y=log₅|x-1|＞1，此時與函數(shù)y=f（x）無交點．
再根據(jù)y=log₅|x-1|的圖象和 f（x）的圖象都關(guān)于直線x=1對稱，結(jié)合圖象可知有8個交點，
且函數(shù)g（x）=f（x）-log₅|x-1|的零點之和為 8，
故選D．

點評：本題考查函數(shù)的零點，求解本題，關(guān)鍵是研究出函數(shù)f（x）性質(zhì)，作出其圖象，將函數(shù)g（x）=f（x）-|log₅x|的零點個數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點個數(shù)問題是本題中的一個亮點，此一轉(zhuǎn)化使得本題的求解變得較容易，屬于中檔題．