Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且acosB-bcosA=

3

5

c．
（Ⅰ）求

tanA

tanB

的值；
（Ⅱ）求tan（A-B）的最大值．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦定理及兩角和與差的正切函數(shù)，
（Ⅰ）由正弦定理的邊角互化，我們可將已知中acosB-bcosA=

3

5

c，進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求

tanA

tanB

的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論，結(jié)合角A，B，C為△ABC的內(nèi)角，我們易得tanA=4tanB＞0，則tan（A-B）可化為

3

cotB+4tanB

，再結(jié)合基本不等式即可得到tan（A-B）的最大值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，acosB-bcosA=

3

5

c，
由正弦定理得
sinAcosB-sinBcosA=

3

5

sinC=

3

5

sin(A+B)=

3

5

sinAcosB+

3

5

cosAsinB
即sinAcosB=4cosAsinB，
則

tanA

tanB

=4；
（Ⅱ）由

tanA

tanB

=4得
tanA=4tanB＞0
tan(A-B)=

tanA-tanB

1+tanAtanB

=

3tanB

1+4tan2B

=

3

cotB+4tanB

≤

3

2 cotB•4tanB

=

3

4

當(dāng)且僅當(dāng)4tanB=cotB，tanB=

1

2

，tanA=2時(shí)，等號(hào)成立，
故當(dāng)tanA=2，tanB=

1

2

時(shí)，
tan（A-B）的最大值為

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：在解三角形時(shí)，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于邊角互化，使用時(shí)要注意一般是等式兩邊是關(guān)于三邊的齊次式．