Question

光線l過(guò)點(diǎn)P（1，-1），經(jīng)y軸反射后與圓C：（x-4）²+（y-4）²=1相切，求光線l所在的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,點(diǎn)到直線的距離公式

專題：計(jì)算題

分析：由圓C的方程找出圓心C的坐標(biāo)及圓的半徑r，設(shè)光線l與y軸的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′，根據(jù)與y軸對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)寫出P′的坐標(biāo)，由光學(xué)知識(shí)可知直線P′Q為反射線所在的直線，且為圓C的切線，設(shè)直線P′Q的斜率為k，由P的坐標(biāo)表示出直線P′Q，根據(jù)光線l經(jīng)y軸反射后與圓C相切，得到圓心到直線P′Q的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，再由由光線l與P′Q關(guān)于y軸對(duì)稱可得光線l的斜率，最后由P的坐標(biāo)及求出的光線的斜率寫出光線l的方程即可．

解答： 解：由圓C：（x-4）²+（y-4）²=1，得到圓心C（4，4），半徑r=1，
設(shè)光線l與y軸的交點(diǎn)（即反射點(diǎn)）為Q，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′（-1，-1），
由光學(xué)知識(shí)可知直線P′Q為反射線所在的直線，且為圓C的切線，…（2分）
設(shè)P′Q的方程為y+1=k（x+1），即kx-y+k-1=0，…（4分）
∵直線P′Q與圓C相切，
∴圓心C（4，4）到直線P′Q的距離等于半徑長(zhǎng)，即

|4k-4+k-1|

k2+1

=1，
解得：k=

4

3

或k=

3

4

，…（8分）
由光線l與直線P′Q關(guān)于y軸對(duì)稱可得：光線l的斜率為-

4

3

或-

3

4

，…（10分）
∴光線l所在的直線方程為y+1=-

4

3

（x-1）或y+1=-

3

4

（x-1），即4x+3y-1=0或3x+4y+1=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的切線方程，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，以及直線的點(diǎn)斜式方程，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．