Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且4cosC•sin2

C

2

+cos2C=0．
（1）若tanA=2tanB，求sin（A-B）的值；
（2）若3ab=25-c²，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）把已知的等式左邊第一項的第二個因式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項也利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，約分去括號合并后，求出cosC的值，由C為三角形的內角利用特殊角的三角函數(shù)值得到C的度數(shù)，進而求出sinC的值，進而由三角形的內角和定理及誘導公式得到sin（A+B）的值，然后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡

sin(A+B)

sin(A-B)

后，分子分母同時除以cosαcosβ，利用同角三角函數(shù)間的基本關系弦化切后，將tanA=2tanB代入求出

sin(A+B)

sin(A-B)

的值，把sin（A+B）的值代入即可求出sin（A-B）的值；
（2）根據(jù)正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，表示出a與b，再由sinC的值，利用三角形的面積公式S=

1

2

absinA表示出三角形ABC的面積，根據(jù)C的度數(shù)，求出A+B的度數(shù)，用A表示出B，代入表示出的面積中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，最后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域表示出面積S的最大值，并求出此時A的度數(shù)，得到三角形ABC為等邊三角形，即a=b=c，代入已知的等式3ab=25-c²，求出c的值，再由sinC的值，求出三角形外接圓半徑R，代入表示出的S最大值的式子中即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答：解：（1）由4cosC•sin2

C

2

+cos2C=0，
化簡得：4cosC•

1-cosC

2

+2cos²C-1=0，
即cosC=

1

2

，又C為三角形的內角，則有C=

π

3

，
∴sinC=

3

2

，又C=π-（A+B），
∴sin（A+B）=

3

2

，
∵tanA=2tanB，
∴

sin(A+B)

sin(A-B)

=

sinAcosB+cosAsinB

sinAcosB-cosAsinB

=

tanA+tanB

tanA-tanB

=3，
則sin（A-B）=

3

6

；
（2）根據(jù)正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
得到a=2RsinA，b=2RsinB，又sinC=

3

2

，
則△ABC面積S=

1

2

absinC
=

3

R²sinAsinB
=

3

R²sinAsin（

2π

3

-A）
=

3

R²（

3

2

sinAcosA+

1

2

sin²A）
=

3

R²[

1

2

sin（2A-

π

6

）+

1

4

]，
當2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

時，
正弦函數(shù)sin（2A-

π

6

）取得最大值1，此時面積S取得最大值為

3 3

4

R²，
此時三角形為等邊三角形，則有a=b=c，
∴3ab=25-c²化簡得：c=

5

2

，
此時R=

c

2sinC

=

5 3

6

，
則三角形ABC面積的最大值為

75 3

48

=

25 3

16

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，誘導公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，等邊三角形的性質，以及正弦定理，本題的技巧性較強，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．