【題目】已知函數(shù)在上是增函數(shù).
求實(shí)數(shù)的值;
若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增即可;
討論時(shí)不滿足題意,則,根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)可知在時(shí),已經(jīng)存在兩個(gè)零點(diǎn),在等價(jià)為當(dāng)時(shí),有且只有一個(gè)零點(diǎn),利用參變分離法結(jié)合圖象進(jìn)行求解即可。
解:當(dāng)時(shí),是增函數(shù),且,
故當(dāng)時(shí),為增函數(shù),即恒成立,
當(dāng)時(shí),函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒成立,
當(dāng)時(shí),,此時(shí)相應(yīng)恒成立,即恒成立,即恒成立,
當(dāng)時(shí),,此時(shí)相應(yīng)恒成立,即恒成立,即恒成立,
則,即.
若,則在上是增函數(shù),此時(shí)最多有一個(gè)零點(diǎn),不可能有三個(gè)零點(diǎn),則不滿足條件.
故,
當(dāng)時(shí),有一個(gè)零點(diǎn),
當(dāng)時(shí),,故0也是故的一個(gè)零點(diǎn),
故當(dāng)時(shí),有且只有一個(gè)零點(diǎn),即有且只有一個(gè)解,
即,得,,
則,在時(shí)有且只有一個(gè)根,
即與函數(shù),在時(shí)有且只有一個(gè)交點(diǎn),
,
由得,即得,得,此時(shí)函數(shù)遞增,
由得,即得,得,此時(shí)函數(shù)遞減,
即當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值,此時(shí)極小值為
,
,
作出的圖象如圖,
要使與函數(shù),在時(shí)有且只有一個(gè)交點(diǎn),
則或,
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形,,底面,點(diǎn)分別為,的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)在線段上是否存在點(diǎn),使得直線與平面所成的角的正弦值為?若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)某居民最近連續(xù)幾年的月用水量進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到該居民月用水量單位:噸的頻率分布直方圖,如圖一.
根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該居民月平均用水量;
已知該居民月用水量T與月平均氣溫單位:的關(guān)系可用回歸直線模擬年當(dāng)?shù)卦缕骄鶜鉁?/span>t統(tǒng)計(jì)圖如圖二,把2017年該居民月用水量高于和低于的月份分為兩層,用分層抽樣的方法選取5個(gè)月,再?gòu)倪@5個(gè)月中隨機(jī)抽取2個(gè)月,這2個(gè)月中該居民有個(gè)月每月用水量超過(guò),視頻率為概率,求出.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,軸,直線交軸于點(diǎn),,為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),的面積的最大值為1.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作兩條直線與橢圓分別交于且使軸,如圖,問(wèn)四邊形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2020年是中國(guó)傳統(tǒng)的農(nóng)歷“鼠年”,有人用3個(gè)圓構(gòu)成“卡通鼠”的形象,如圖:是圓Q的圓心,圓Q過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O;點(diǎn)L、S均在x軸上,圓L與圓S的半徑都等于2,圓S、圓L均與圓Q外切.已知直線l過(guò)點(diǎn)O.
(1)若直線l與圓L、圓S均相切,則l截圓Q所得弦長(zhǎng)為__________;
(2)若直線l截圓L、圓S、圓Q所得弦長(zhǎng)均等于d,則__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某社區(qū)消費(fèi)者協(xié)會(huì)為了解本社區(qū)居民網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)情況,隨機(jī)抽取了100位居民作為樣本,就最近一年來(lái)網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額(單位:千元),網(wǎng)購(gòu)次數(shù)和支付方式等進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)査.經(jīng)統(tǒng)計(jì)這100位居民的網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額均在區(qū)間內(nèi),按,,,,,分成6組,其頻率分布直方圖如圖所示.
(1)估計(jì)該社區(qū)居民最近一年來(lái)網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額的中位數(shù);
(2)將網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額在20千元以上者稱為“網(wǎng)購(gòu)迷”,補(bǔ)全下面的列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為“網(wǎng)購(gòu)迷與性別有關(guān)系”;
男 | 女 | 合計(jì) | |
網(wǎng)購(gòu)迷 | 20 | ||
非網(wǎng)購(gòu)迷 | 45 | ||
合計(jì) | 100 |
(3)調(diào)査顯示,甲、乙兩人每次網(wǎng)購(gòu)采用的支付方式相互獨(dú)立,兩人網(wǎng)購(gòu)時(shí)間與次數(shù)也互不. 影響.統(tǒng)計(jì)最近一年來(lái)兩人網(wǎng)購(gòu)的總次數(shù)與支付方式,所得數(shù)據(jù)如下表所示:
網(wǎng)購(gòu)總次數(shù) | 支付寶支付次數(shù) | 銀行卡支付次數(shù) | 微信支付次數(shù) | |
甲 | 80 | 40 | 16 | 24 |
乙 | 90 | 60 | 18 | 12 |
將頻率視為概率,若甲、乙兩人在下周內(nèi)各自網(wǎng)購(gòu)2次,記兩人采用支付寶支付的次數(shù)之和為,求的數(shù)學(xué)期望.
附:觀測(cè)值公式:
臨界值表:
0.01 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從一批草莓中,隨機(jī)抽取50個(gè),其重量(單位:克)的頻數(shù)分布表如下:
分組(重量) | ||||
須數(shù)(個(gè)) | 10 | 5 | 20 | 15 |
(1)根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算草莓的重量在的頻率;
(2)用分層抽樣的方法從重量在和的草莓中共抽取5個(gè),其中重量在的有幾個(gè)?
(3)從(2)中抽出的5個(gè)草莓中任取2個(gè),求重量在和中各有1個(gè)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在上的最小值為3,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】義烏國(guó)際馬拉松賽,某校要從甲乙丙丁等人中挑選人參加比賽,其中甲乙丙丁人中至少有人參加且甲乙不同時(shí)參加,丙丁也不同時(shí)參加,則不同的報(bào)名方案有( )
A.B.C.D.
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