Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CC₁=3，BC=4，G是AB₁和A₁B的交點，若C₁G⊥A₁C．
（I） 求CA的長．
（II） 求點A到平面A₁BC₁的距離；
（III） 求二面角C₁-A₁B-C的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（I）軸建立空間直角坐標系，設出點的坐標，即可得到=（2，-，-），=（0，-3，-h），進而結合題意得到h=3．
（II）設平面A₁BC₁得法向量=（a，b，c），根據(jù)題意求出=（3，4，0），遞減向量的射影進而求出點A到平面A₁BC₁的距離．
（III）設平面A₁BC的法向量為=（x，y，z），由題意可得=（0，1，-1），再利用向量之間的有關運算求出兩個向量的夾角，進而轉化為二面角的平面角得到答案．
解答：解：（I）分別以直線C₁B₁、CC₁、C₁A₁為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
設|CA|=h，則C₁（0，0，0），B₁（4，0，0），B（4，-3，0），C（0，-3，0），A₁（0，0，h），A（0，-3，h），G（2，-，-）
∴=（2，-，-），=（0，-3，-h）
∴•=0，
∴h=3
（II）設平面A₁BC₁得法向量=（a，b，c），
由題意可得：，
所以，即，
 則取=（3，4，0），
∴點A到平面A₁BC₁的距離為h=||=…（8分）
（III）設平面A₁BC的法向量為=（x，y，z），
由題意可得：，，
所以，即，
 則可求得=（0，1，-1），
∴二面角C₁-A₁B-C的大小θ滿足cosθ==
∴二面角C₁-A₁B-C的大小為arccos
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，點到面的距離，以及求線段的長度問題，其中建立適當?shù)目臻g坐標系，將問題轉化為向量夾角及向量長度問題是解答本題的關鍵．