Question

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面AA1C1C是面積為的菱形，∠AA₁C₁為銳角，側(cè)面ABB1A1⊥AA1C1C，且A1B=AB=AC=1．
（Ⅰ）求證：AA1⊥BC1；
（Ⅱ）求A1到平面ABC的距離；
（Ⅲ）求二面角B-AC-C1的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證：AA₁⊥BC₁，先說明△AA₁B是等邊三角形，設(shè)D是AA₁的中點、連接BD，C₁D，證明AA₁⊥平面BC₁D，即可．
（Ⅱ）根據(jù)上一問得到的結(jié)論，OA、OC1、OB兩兩垂直以O(shè)為原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，寫出要用的點的坐標(biāo)，和向量的坐標(biāo)，根據(jù)點到平面的距離公式得到結(jié)果．
（III）根據(jù)上一問做出的平面的法向量，和另一個平面的在圖形中存在的法向量，用兩個法向量所成的角，得到兩個平面之間的夾角的余弦．
解答：解：（1）證明：因為四邊形AA₁C₁C是菱形，所以有AA₁=A₁C₁=C₁C=CA=1．
從而知△AA₁B是等邊三角形．（2分）
設(shè)D是AA₁的中點、連接BD，C₁D，
則BD⊥AA₁，由 =．
知C₁到AA₁的距離為 ．∠AA₁C₁=60°，
所以△AA₁C₁是等邊三角形，（4分）
且C₁D⊥AA₁，所以AA₁⊥平面BC₁D．（6分）
又BC₁?平面BC₁D，故AA₁⊥BC₁．（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知C1O⊥AA1，BO⊥AA1
∵平面ABB1A1⊥平面AA1C1C，
∴BO⊥平面AA1C1C，C1O?平面AA1C1C
BO⊥C1O
∴OA、OC1、OB兩兩垂直，…（6分）
以O(shè)為原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則：
O（0，0，0），A（0，，0），A₁（0，-，0），B（0，0，），．…（7分）
設(shè)
是平面ABC的一個法向量，
則-，
令z=1，則．    …（9分）
設(shè)A1到平面ABC的距離為d．
，
∴d==．     …（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面ABC的一個法向量是．，…（11分）
又平面ACC1的一個法向量=（0，0，）．          …（12分）
∴cosθ==．          …（13分）
∴二面角B-AC-C1的余弦值是．               …（14分）
點評：本題考查直線與平面的垂直，考查空間想象能力，邏輯思維能力，考查用空間向量來解決立體幾何距離和面面之間的夾角的問題，是中檔題．