Question

已知函數(shù)f（x）=x²e^x．
（1）求f（x）的極值．
（2）求f（x）在區(qū)間[t，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）令f′（x）=0，解得x=0或-2．再進行驗證即可．
（2）分以下情況討論其單調(diào)性：①當0＞t≥-2時，②當t＜-2時，進而得到其最值．

解答：解：（1）f′（x）=xe^x（2+x）．
令f′（x）=0，解得x=0或-2．
由f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-2，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-2）和（0，+∞）單調(diào)遞增；
由f′（x）＜0，解得-2＜x＜0，∴函數(shù)f（x）在（-2，0上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）在x=0取得極小值，f（0）=0；
在x=-2取得極大值，f（-2）=

4

e2

．
（2）①當0＞t≥-2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，0]上單調(diào)遞減，
∴當x=t時，函數(shù)f（x）取得最大值，且f（t）=t²e^t；當x=0時，函數(shù)f（x）取得最小值，且f（0）=0；
②當t＜-2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，-2）上單調(diào)遞增；函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞減．
∴當x=-2時，函數(shù)f（x）取得最大值，且f（-2）=

4

e2

．
又f（t）=t²e^t，f（0）=0，
∴f（0）＜f（t），因此函數(shù)f（x）的最小值為f（0）=0．

點評：熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值最值、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．