Question

數列{a_n}是首項a₁=4的等比數列，s_n為其前n項和，且S₃，S₂，S₄成等差數列．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）若b_n=log₂|a_n|，設T_n為數列{

1

bnbn+1

}的前n項和，求證T_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：（I）設等比數列{a_n}的公比為q，先看當q=1時，S₃，S₂，S₄不成等差數列，不符合題意，判斷出q≠1，進而根據等比數列求和公式表示出S₃，S₂，S₄，根據等差中項的性質建立等式，求得q，則數列{a_n}的通項公式可得．
（Ⅱ）把（1）中的a_n代入b_n=，進而利用裂項法求得前n項的和，根據Tn=

1

2

-

1

n+2

＜

1

2

.原式得證．

解答：解：（I）設等比數列{a_n}的公比為q．
當q=1時，S₃=12，S₂=8，S₄=16，不成等差數列
∴q≠1，S3=

4(1-q3)

1-q

，S2=

4(1-q2)

1-q

，S4=

4(1-q4)

1-q

2S₂=S₃+S₄，
∴

8(1-q2)

1-q

=

4(1-q3)

1-q

+

4(1-q4)

1-q

，
即q⁴+q³-2q²=0．∵q≠0，q≠1，∴q=-2，
∴a_n=4（-2）^n-1=（-2）ⁿ⁺¹
（Ⅱ）b_n=log₂|a_n|=log₂|（-2）ⁿ⁺¹|=n+1，
∴

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n+1

-

1

n+2

，
∴Tn=

1

2

-

1

n+2

＜

1

2

.

點評：本題主要考查了數列的求和．應熟練掌握常用的數列求和的方法，如公式法，錯位相減法，裂項法等．