Question

若實(shí)數(shù)a＞0且a≠2，函數(shù)f（x）=ax³-（a+2）x²+2x+1．
（1）證明函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，并求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在區(qū)間（0，+∞）上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由已知可得： （2分）
當(dāng)a＞2時(shí)，自變量x，以及f（x），f′（x）的變化情況如下表：

x				1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

∴函數(shù)在x=1處取得極值，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是，（1，+∞）
單調(diào)遞減區(qū)間是 （4分）
當(dāng)0＜a＜2時(shí)自變量x，以及f（x），f′（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，1）	1
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

∴函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1）和，單調(diào)遞減區(qū)間是 （6分）
（2）因?yàn)閒（0）=1，由（1）知要使在區(qū)間（0，+∞）上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜1成立，
只需在區(qū)間（0，+∞）上f（x）_極小值＜1即可 （8分）
當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）_極小值=f（1）=2-＜1，所以a＞6
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，恒成立，
所以
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為 （12分）
分析：（1）可以求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)區(qū)間，對(duì)于含有一個(gè)參數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，要注意討論參數(shù)a的情況，即：0＜a＜2和a＞2來進(jìn)行討論，要對(duì)x，以及f（x），f′（x）的變化情況表列正確．
（2）本題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上f（x）_極小值＜1即可解答，可以利用（1）的結(jié)論，注意對(duì)參數(shù)a的討論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，求函數(shù)的極值，判斷函數(shù)取得極值的條件以及應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究含一個(gè)參數(shù)a的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，考查了分類討論思想．