已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，離心率，且其中一個焦點與拋物線的焦點重合．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點S(－，0)的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動，以AB為直徑的圓恒過點T，若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為，離心率，，拋物線的焦點為，所以，橢圓C的方程是x2＋＝1．(4分)

　　(Ⅱ)若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x2＋y2＝1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是(x＋)2＋y2＝．

　　由解得即兩圓相切于點(1，0)．

　　因此所求的點T如果存在，只能是(1，0)．(6分)

　　事實上，點T(1，0)就是所求的點．證明如下：

　　當(dāng)直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T(1，0)．

　　若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l：y＝k(x＋)．

　　由即(k2＋2)x2＋k2x＋k2－2＝0．

　　記點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則　(9分)

　　又因為＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，

　　·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(x1－1)(x2－1)＋k2(x1＋)(x2＋)

　　＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1

　�。�(k2＋1)＋(k2－1)＋＋1＝0，

　　所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T(1，0)．

　　所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點T(1，0)滿足條件．(13分)


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，橢圓C任意一點P到兩個焦點F1(-
3
，0)和F2(
3
，0)的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過（0，-2）的直線l與橢圓C交于A、B兩點，且
OA
•
OB
=0（O為坐標(biāo)原點），求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=2，點P（1，
32
）在橢圓C上．
（I）求橢圓C的方程；
（II）如圖，動直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且F1M⊥l，F(xiàn)2M⊥l，求四邊形F1MNF2面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上且過點P(
3
，
1
2
)，離心率是
3
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l過點E（-1，0）且與橢圓C交于A，B兩點，若|EA|=2|EB|，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•和平區(qū)一模）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，離心率為
1
2
，它的一個頂點恰好是拋物線y=
3
12
x2的焦點．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若A、B是橢圓C上關(guān)x軸對稱的任意兩點，設(shè)P（-4，0），連接PA交橢圓C于另一點E，求證：直線BE與x軸相交于定點M；
（III）設(shè)O為坐標(biāo)原點，在（II）的條件下，過點M的直線交橢圓C于S、T兩點，求
OS
•
OT
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，它的一條準(zhǔn)線為x=-
5
2
，離心率為
2
5
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓于A、B兩點，交y軸于M點，若
MA
=λ1
AF
， 
MB
=λ2
BF
，求λ1+λ2的值．

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