Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）證明：對任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，得f'（x）=lnx+1．由此能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值．
（Ⅱ）由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））在時取得最小值，知．由，得．所以函數(shù)g（x）（x＞0）在x=1時取得最大值，由此能夠證明對任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．
解答：（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1．
當(dāng)單調(diào)遞減，
當(dāng)單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞增，又f（1）=0，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值為0．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））在時取得最小值，
又，可知．
由，可得．
所以當(dāng)x∈（0，1），g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，+∞），g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．
所以函數(shù)g（x）（x＞0）在x=1時取得最大值，
又，可知，
所以對任意m，n∈（0，+∞），
都有f（m）≥g（n）成立．
點評：本題考查函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值的求法和證明：對任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運用．