Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a₂=a₃=2，a_n+1=a₁a₂…a_n-1（n≥3），記b_n-2=a₁²+a₂²+…+a_n²-a₁a₂…a_n（n≥3）．
（1）求證數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，并求其通項公式；
（2）設(shè)cn=1+

1

b 2 n

+

1

b 2 n+1

，數(shù)列{

cn

}的前n項和為S_n，求證：n＜S_n＜n+1．

Answer 1

分析：（1）方法一：直接根據(jù)條件求出b_n-1的表達式，再與b_n-2=的表達式作差，結(jié)合遞推關(guān)系式，整理即可證明數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；即可求出求其通項公式；
方法二：先根據(jù)數(shù)列{a_n}的遞推公式得到a_n+1²=a_n+2-a_n+1+1；再代入b_n=a₁²+a₂²+…+a_n+2²-a₁a₂…a_n+2整理可得b_n=n+3；即可說明結(jié)論．
（2）先求出c_n的表達式，進而得到

cn

=

(n+3)(n+4)+1

(n+3)(n+4)

=1+

1

(n+3)(n+4)

=1+

1

n+3

-

1

n+4

；再代入求出S_n，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）方法一  當n≥3時，因b_n-2=a₁²+a₂²+…+a_n²-a₁a₂…a_n①，
故b_n-1=a₁²+a₂²+…+a_n²+a_n+1²-a₁a₂…a_na_n+1②． …（2分）
②-①，得  b_n-1-b_n-2=a_n+1²-a₁a₂…a_n（a_n+1-1）=a_n+1²-（a_n+1+1）（a_n+1-1）=1，為常數(shù)，
所以，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列． …（5分）
因  b₁=a₁²+a₂²+a₃²-a₁a₂a₃=4，故  b_n=n+3．   …（8分）
方法二  當n≥3時，a₁a₂…a_n=1+a_n+1，a₁a₂…a_na_n+1=1+a_n+2，
將上兩式相除并變形，得  a_n+1²=a_n+2-a_n+1+1．…（2分）
于是，當n∈N*時，b_n=a₁²+a₂²+…+a_n+2²-a₁a₂…a_n+2
=a₁²+a₂²+a₃²+（a₅-a₄+1）+…+（a_n+3-a_n+2+1）-a₁a₂…a_n+2
=a₁²+a₂²+a₃²+（a_n+3-a₄+n-1）-（1+a_n+3）
=10+n-a₄．
又a₄=a₁a₂a₃-1=7，故b_n=n+3（n∈N*）．
所以數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且b_n=n+3． …（8分）
（2）因  c_n=1+

1

(n+3)2

+

1

(n+4)2

=

((n+3)(n+4)+1)2

(n+3)2(n+4)2

，…（12分）
故  

cn

=

(n+3)(n+4)+1

(n+3)(n+4)

=1+

1

(n+3)(n+4)

=1+

1

n+3

-

1

n+4

．
所以  Sn=(1+

1

4

-

1

5

)+(1+

1

5

-

1

6

)+…+(1+

1

n+3

-

1

n+4

)=n+

1

4

-

1

n+4

，…（15分）
即  n＜S_n＜n+1． …（16分）

點評：本題綜合考查解決基本數(shù)列的基本方法（定義法，分組裂項求和等），考查運算能力．