Question

20．在成都七中學(xué)生節(jié)活動中，高一某班設(shè)計(jì)了這樣一個游戲：已知∠A=α，線段BC的長度為定值m，將點(diǎn)B放在射線AP上，點(diǎn)C放在射線AQ上，當(dāng)△ABC面積較大時即獲勝．
（1）某同學(xué)將線段BC放定后，求$\frac{sin∠ABC+sin∠ACB}{AB+AC}$的值；
（2）若α=$\frac{π}{6}$，當(dāng)∠ABC的值為多少時，△ABC面積最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理以及比例的性質(zhì)解答；
（2）利用正弦定理，將三角形的面積表示為關(guān)于∠ABC的三角函數(shù)，利用積化和差公式得到最值．

解答 解：（1）在△ABC中，由正弦定理得到$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{AC}{sin∠ABC}=\frac{BC}{sin∠A}$，
所以$\frac{sin∠ABC+sin∠ACB}{AB+AC}=\frac{sinα}{m}$；
（2）α=$\frac{π}{6}$，設(shè)∠ABC=β，則$\frac{m}{sin\frac{π}{6}}=\frac{AB}{sin（\frac{5π}{6}-β）}$，所以AB=2msin（$\frac{5π}{6}-β$），
所以，△ABC面積為$\frac{1}{2}AB×BC×sin∠ABC$=m²sin（$\frac{5π}{6}-β$）sinβ=$\frac{1}{2}$m²[cos（$\frac{5π}{6}-2β$）-cos$\frac{5π}{6}$]=$\frac{1}{2}$m²[cos[（$\frac{5π}{6}-2β$）+$\frac{1}{2}$]，$β∈（0，\frac{5π}{6}）$，
所以$\frac{5π}{6}-2β$∈（$-\frac{5π}{6}，\frac{5π}{6}$），所以當(dāng)$β=\frac{5π}{12}$即∠ABC為$\frac{5π}{12}$時，△ABC面積的面積最大為$\frac{3}{4}{m}^{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用；關(guān)鍵是利用正弦定理將所求轉(zhuǎn)化為∠ABC的三角函數(shù)形式．