Question

已知雙曲線C：-=1（0＜＜1）的右焦點為B，過點B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩點，試確定的范圍，使·=0，其中點O為坐標原點.

Answer 1

≤＜.           

解析:

設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由已知易求B（1，0），

①當MN垂直于x軸時，MN的方程為x=1，

設M（1，y₀），N（1，-y₀）（y₀＞0），

由·=0，得y₀=1，

∴M（1，1），N（1，-1）.

又M（1，1），N（1，-1）在雙曲線上，

∴-=1²+-1=0=，                                                       4分

因為0＜＜1,所以=.                                                                           5分

②當MN不垂直于x軸時，設MN的方程為y=k(x-1).

由,

得［-(1-)k²］x²+2(1-)k²x-(1-)(k²+)=0,                                                       8分

由題意知：-(1-)k²≠0,

所以x₁+x₂=,

x₁x₂=,

于是y₁y₂=k²(x₁-1)(x₂-1)=,                                                               10分

因為·=0,且M、N在雙曲線右支上，

所以

?＜＜.                                                            13分

由①②，知≤＜.                                                                       14分