Question

設n∈N^*，0＜x＜1，f（n）=1-（1-xⁿ）²，g（n）=[1-（1-x）²]ⁿ，試比較f（n）與g（n）的大小，并證明你的結論．

Answer 1

分析：化簡f（n）與g（n）的表達式，猜想（2-x）ⁿ≥2-xⁿ（當且僅當n=1時，等號成立），下面用數學歸納法加以證明：驗證當n=1，2時，猜想成立，假設當n=k（k≥2，k∈N）時，猜想成立，即（2-x）^k＞2-x^k，證明當n=k+1時，猜想成立．

解答：證明：f（n）=（2-xⁿ）xⁿ，g（x）=xⁿ（2-x）ⁿ（2分）
比較f（n）與g（n）的大小，即比較2-xⁿ與（2-x）ⁿ的大小．         （3分）
猜想：（2-x）ⁿ≥2-xⁿ（當且僅當n=1時，等號成立）           （5分）
下面用數學歸納法加以證明：
（1）當n=1時，顯然（2-x）¹≥2-x，成立，n=2時，左邊=（2-x）²=4-4x+x²，右邊=2-x²，
因為4-4x+x²-2+x²=2（1-2x+x²）=2（1-x）²＞0，成立．                   （7分）
（2）假設當n=k（k≥2，k∈N）時，猜想成立，即（2-x）^k＞2-x^k（8分）
當n=k+1時，（2-x）^k+1=（2-x）（2-x）^k＞（2-x）（2-x^k）（注：0＜x＜1）
要證猜想成立，只需證明（2-x）（2-x^k）＞2-x^k+1（11分）
即證x^k+1-x^k-x+1＞0亦即（x-1）（x^k-1）＞0
由0＜x＜1易得上式成立，即n=k+1時，猜想成立．          （13分）
綜上（1）（2）可知，猜想成立．                            （14分）
（另證：令x=1-t，要證（2-x）ⁿ＞2-xⁿ，即證（1-t）ⁿ+（1+t）ⁿ＞2，由二項式定理展開，易得證．酌情給分）

點評：本題考查數學歸納法的證明步驟的應用，考查數列與函數的關系，考查邏輯推理能力，計算能力．