Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）．
（1）若b=﹣4，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍；
（3）若b=﹣1，證明對(duì)任意n∈N⁺，不等式…都成立．

Answer 1

（1）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得，定義域{x|x＞﹣1}
∴當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0．
故函數(shù)f（x）的減區(qū)間是（﹣1，1），增區(qū)間是（1，+∞）．
（2）解：∵，
又函數(shù)f（x）在定義域是單調(diào)函數(shù)，
∴f'（x）≥0，或f'（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立．
若f'（x）≥0，∵x+1＞0，
∴2x²+2x+b≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，即恒成立，
由此得；
若f'（x）≤0，∵x+1＞0，
∴2x²+2x+b≤0，即b≤﹣（2x²+2x）恒成立，因﹣（2x²+2x）在（﹣1，+∞）沒有最小值，
∴不存在實(shí)數(shù)b使f'（x）0恒成立．
綜上所知，實(shí)數(shù)b的取值范圍是．
（3）證明：當(dāng)b=﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）=x²﹣ln（x+1），
令函數(shù)h（x）=f（x）﹣x³=x²﹣ln（x+1）﹣x³，則，
∴當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，h'（x）＜0，
∴函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
又h（0）=0，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）＜h（0）=0，即x²﹣ln（x+1）＜x³恒成立．
故f（x）＜x³．
∵k∈N*，∴，
取，
∴…，
故結(jié)論成立．