Question

已知函數(shù)f（x）=2sin2xcos²

φ

2

+cos2xsinφ-sin2x（0＜φ＜π）圖象的一條對(duì)稱軸為x=

π

3

．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若存在x₀∈[-

π

3

，

π

6

]使得|f（x₀）-m|≤

1

2

成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）已知函數(shù)g（x）=|f（

ωx

2

-

5π

12

）|+|cosωx|在區(qū)間[0，1]上恰有50次取到最大值，求正數(shù)ω的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）奇函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用函數(shù)的對(duì)稱軸，建立方程關(guān)系，即可求φ的值；
（Ⅱ）將不等式|f（x₀）-m|≤

1

2

進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求出不等式的等價(jià)條件，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）將函數(shù)g（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)的周期，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）Ⅰ）f（x）=2sin2xcos²

φ

2

+cos2xsinφ-sin2x=sin（2x+φ），
∵0＜φ＜π，圖象的一條對(duì)稱軸為x=

π

3

，
∴2×

π

3

+φ=kπ+

π

2

，解得φ=kπ-

π

6

，
∵0＜φ＜π，
∴當(dāng)k=1時(shí)，φ=π-

π

6

=

5π

6

．
即f（x）=sin（2x+

5π

6

）．
（II）由|f（x₀）-m|≤

1

2

得-

1

2

≤f（x₀）-m≤

1

2

，即f（x₀）-

1

2

≤m≤f（x₀）+

1

2

，
∵x₀∈[-

π

3

，

π

6

]，∴

π

6

≤2x₀+

5π

6

≤

7π

6

，
即-

1

2

≤sinx（2x₀+

5π

6

）≤1，
∴若存在x₀∈[-

π

3

，

π

6

]使得|f（x₀）-m|≤

1

2

成立，
則-1≤m≤

3

2

．
（III）g（x）=|f（

ωx

2

-

5π

12

）|+|cosωx|=|sinωx|+|cosωx|=

(|sinωx|+|cosωx|)2

=

1+|sin2ωx|

，
若g（x）取得最大值，則|sin2ωx|=1，等價(jià)于y=|sin2ωx|在[0，1]上恰有50次取到最大值1，
由y=|sin2ωx|的最小正周期T=

π

2ω

，
由此可得49•

π

2ω

+

π

4ω

≤1＜50•

π

2ω

+

π

4ω

，
解得

99π

4

≤ω＜

101π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．