Question

8．已知直線ax-y=0（a∈R）與圓C：x²+y²-2ax-2y+2=0交于A，B兩點，C為圓心，若∠ACB=$\frac{π}{3}$，則圓C的面積為（　�。�

• A． 8π
• B． 6π
• C． 4π
• D． 2π

Answer 1

分析 求出圓心C（a，1），半徑R=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，推導出△ABC是邊長為R=$\sqrt{{a}^{2}-1}$的等邊三角形，圓心C（a，1）到直線ax-y=0的距離d等于$\frac{\sqrt{3}R}{2}$，由此求出R，從而能求出圓C的面積．

解答 解：圓C：x²+y²-2ax-2y+2=0的圓心C（a，1），半徑R=$\frac{1}{2}\sqrt{4{a}^{2}+4-8}$=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∵直線ax-y=0（a∈R）與圓C：x²+y²-2ax-2y+2=0交于A，B兩點，C為圓心，∠ACB=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC是邊長為R=$\sqrt{{a}^{2}-1}$的等邊三角形，
圓心C（a，1）到直線ax-y=0的距離d等于$\frac{\sqrt{3}R}{2}$=$\frac{\sqrt{3}•\sqrt{{a}^{2}-1}}{2}$，
即d=$\frac{|{a}^{2}-1|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}•\sqrt{{a}^{2}-1}}{2}$，解得a²=7或a²=1（舍），
∴R=$\sqrt{6}$
∴圓C的面積為S=πR²=6π．
故選：B．

點評 本題考查圓、直線方程、點到直線距離公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．