Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，且滿(mǎn)足f（1+x）=f（1-x），當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x³，則f（2011）的值是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

Answer 1

【答案】分析：由已知中定義在R上的函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，且滿(mǎn)足f（1+x）=f（1-x），我們可以求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心，根據(jù)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性與周期性之間的關(guān)系，我們易求出函數(shù)的周期，進(jìn)而結(jié)合當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x³，即可f（2011）的值．
解答：解：∵f（1+x）=f（1-x），
故直線x=1是函數(shù)y=f（x）的一條對(duì)稱(chēng)軸
又由函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
故原點(diǎn)（0，0）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心
則T=4是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)周期
又∵當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x³，
故f（2011）=f（-1）=-1
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，函數(shù)的同期性，其中根據(jù)直線x=a是函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，（b，0）是函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心，則T=4|a-b|是函數(shù)的周期是解答本題的關(guān)系．