Question

已知函數f（x）=lnx-ax²+x（a∈R）
（1）求a的最大值，使函數f（x）在（0，+∞）內是單調函數．
（2）若對于任意的x∈（0，+∞），總有f（x）≤0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，令導數正負，分離參數，即可求得結論；
（2）分類討論，利用數形結合的方法，即可求a的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數可得f′(x)=

1

x

-2ax+1
令f′(x)=

1

x

-2ax+1≥0，
∵x＞0，∴2a≤

1

x2

+

1

x

=(

1

x

+

1

2

)2-

1

4

∵x＞0，∴

1

x2

+

1

x

≥0
∴2a≤0，∴a最大值為0
f′(x)=

1

x

-2ax+1≤0，即-2ax²+x+1≤0，函數在（0，+∞）內不是單調函數
綜上，a最大值為0；
（2）由（1）知，a≤0，函數f（x）在（0，+∞）內是單調增函數，f（x）＞0
∴a＞0
構造函數y1=lnx，y2=ax2-x
∵對于任意的x∈（0，+∞），總有f（x）≤0，
∴對于任意的x∈（0，+∞），總有y₁＜y₂，即對于任意的x∈（0，+∞），y₁=lnx在y2=ax2-x的下方，
如圖所示，
∴0＜

1

a

≤1，
∴a≥1

點評：本題考查函數的單調性，考查導數知識的運用，考查數形結合的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．