Question

(本題滿分12分)
已知函數(shù),為實(shí)數(shù)，.
（Ⅰ）若在區(qū)間上的最小值、最大值分別為、1，求、的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)．

Answer 1

（Ⅰ），為所求． （Ⅱ）或．
（Ⅲ）當(dāng)時，，函數(shù)為單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個數(shù)為0；
當(dāng)時，此時方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)極值點(diǎn)的定義，
可知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)．

本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
（1）因?yàn)楹瘮?shù),為實(shí)數(shù)，.求解導(dǎo)數(shù)。判定單調(diào)性和最值，結(jié)合在區(qū)間上的最小值、最大值分別為、1得到參數(shù)、的值；
（2）在（Ⅰ）的條件下，先求解導(dǎo)數(shù)值，然后得到經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)就是分析單調(diào)性來得到結(jié)論。
解：（Ⅰ）由，得，．
∵，，
∴ 當(dāng)時，，遞增；
當(dāng)時，， 遞減．
∴ 在區(qū)間上的最大值為，∴．……………………2分
又，，∴ ．
由題意得，即，得．
故，為所求．                 ………………………………4分
（Ⅱ）解：由（1）得，，點(diǎn)在曲線上．
⑴ 當(dāng)切點(diǎn)為時，切線的斜率，
∴ 的方程為，即． ……………………5分
⑵當(dāng)切點(diǎn)不是切點(diǎn)時，設(shè)切點(diǎn)為，
切線的斜率，
∴ 的方程為 ．
又點(diǎn)在上，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即，∴．
∴ 切線的方程為
故所求切線的方程為或．  ………………………………8分
（Ⅲ）解： ．
∴

二次函數(shù)的判別式為
，
令，得：
令，得    ………………………………10分
∵，，
∴當(dāng)時，，函數(shù)為單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個數(shù)為0；
當(dāng)時，此時方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)極值點(diǎn)的定義，
可知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)．               ………………………………12分