Question

18．已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是ρ-2cosθ-4sinθ=0，以極點(diǎn)為在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xoy，直線(xiàn)的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=1+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）將曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將直線(xiàn)l的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，求（|MA|+|MB|）²的值．

Answer 1

分析 （1）按要求將極坐標(biāo)方程即參數(shù)方程化為普通方程；
（2）利用直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的普通方程，利用韋達(dá)定理求線(xiàn)段的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是ρ-2cosθ-4sinθ=0，化為直角坐標(biāo)方程為
x²+y²-2x-4y=0，直線(xiàn)l的普通方程為x-$\sqrt{3}$y+$\sqrt{3}$=0．                         …（5分）
（2）將l的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程，得t²-（$\sqrt{3}$+1）t-3=0，
點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)t=0，設(shè)點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則${t}_{1}+{t}_{2}=\sqrt{3}+1$，t₁•t₂=-3，
所以|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{16+2\sqrt{3}}$
所以（|MA|+|MB|）²=16+2$\sqrt{3}$．                                                    …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程、直線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程以及直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交；屬于中檔題．