Question

已知函數(shù)y=

1

3

x3+x2+x的圖象C上存在一點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足：若過點(diǎn)P的直線l與曲線C交于不同于P的兩點(diǎn)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），恒有y₁+y₂為定值2y₀，則2y₀的值為（　　）

• A、-

  1

  3

• B、-

  2

  3

• C、-

  4

  3

• D、-2

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知，本題中的P點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，由此求出函數(shù)的對(duì)稱中心，即可求出定值，再對(duì)比四個(gè)選項(xiàng)，得出正確選項(xiàng)

解答：解：P為定點(diǎn)，y₁+y₂為定值，可以得出M、N兩點(diǎn)關(guān)于P點(diǎn)對(duì)稱
y′=x²+2x+1
y〃=2x+2
由于三次函數(shù)的對(duì)稱中心點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為0
∴y〃=2x+2=0
x=-1
故P點(diǎn)為（-1，-

1

3

）
y₁+y₂=-

1

3

×2=-

2

3

故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，正確解答本題，關(guān)鍵是由題意得出點(diǎn)P是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，以及了解當(dāng)點(diǎn)P中曲線上時(shí)，對(duì)稱中心處函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為0，本題知識(shí)性強(qiáng)，且涉及到二階導(dǎo)數(shù)與圖象的關(guān)系，題后應(yīng)總結(jié)解題規(guī)律