Question

如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、H分別是棱BB₁、CC₁、DD₁的中點．
（Ⅰ）求證：BH∥平面A₁EFD₁；
（Ⅱ）求直線AF與平面A₁EFD₁所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知容易證明BED₁H為平行四邊形，從而可得BH∥ED₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可證BH∥A₁EFD₁
（Ⅱ）過A作AG⊥A₁E，垂足為G．由A₁D₁⊥平面A₁ABB₁可得A₁D₁⊥AG從而可證得AG⊥平面A₁EFD₁．則∠AFG為所求的角，從而可求AF與平面A₁EFD₁所成的角的正弦值
解答：解：（Ⅰ）證明：連接D₁E，，BB₁=DD₁
∴BE∥HD₁，BE=HD₁，即BED₁H為平行四邊形
∴BH∥ED₁
∵BH?平面A₁EFD₁，ED₁?A₁EFD₁
∴BH∥A₁EFD₁（7分）
（Ⅱ）過A作AG⊥A₁E，垂足為G．
∵A₁D₁⊥平面A₁ABB₁，AG⊆A₁ABB₁∴A₁D₁⊥AG，
EA₁∩A₁D₁=A₁∴AG⊥平面A₁EFD₁．
連接FG，則∠AFG為所求的角．（9分）
在△AA₁G中，AG•EA₁=AA₁•AB
∴
連接AC則∴
∴
∴F與平面A₁EFD₁所成的角的正弦值為（14分）
點評：直線與平面平行的判定定理是證明直線與平面平行最基本的方法，但其中的關鍵是要在平面內找出與已知直線平行的直線，體現(xiàn)了線線平行與線面平行的相互轉化；而線面所成角的求解的關鍵是先要找出角．