Question

18．已知定點(diǎn)F（1，0），定直線(xiàn)l：x=4，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離與到直線(xiàn)l的距離之比等于$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)軌跡E與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)F作不與x軸重合的直線(xiàn)交軌跡E于兩點(diǎn)B、C，直線(xiàn)AB、AC分別交直線(xiàn)l于點(diǎn)M、N．試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}=0$？若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），由條件列出方程，兩邊平方，并化簡(jiǎn)方程，即可得到；
（Ⅱ）設(shè)BC的方程為x=my+1，代入橢圓方程，整理得（3m²+4）y²+6my-9=0，求出M，N的坐標(biāo)，利用條件，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），依題意，有$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|x-4|}$=$\frac{1}{2}$
兩邊平方，整理得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）設(shè)BC的方程為x=my+1，代入橢圓方程，整理得（3m²+4）y²+6my-9=0，
設(shè)B（my₁+1，y₁），C（my₂+1，y₂），Q（x₀，0），則y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
∵A（-2，0），∴直線(xiàn)AB的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}+3}$（x+2），直線(xiàn)AC的方程為y=$\frac{{y}_{2}}{m{y}_{2}+3}$（x+2），
從而M（4，$\frac{6{y}_{1}}{m{y}_{1}+3}$），N（4，$\frac{6{y}_{2}}{m{y}_{2}+3}$），
∴$\overrightarrow{QM}$$•\overrightarrow{QN}$=$（{x}_{0}-4）^{2}$+$\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{（m{y}_{1}+3）（m{y}_{2}+3）}$=$（{x}_{0}-4）^{2}$-9，
∴$（{x}_{0}-4）^{2}$=9即x₀，=1或7時(shí)，$\overrightarrow{QM}$$•\overrightarrow{QN}$=0，
綜上所述，在x軸上存在定點(diǎn)Q（1，0）或（7，0），使得$\overrightarrow{QM}$$•\overrightarrow{QN}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．