Question

某校決定為本校上學(xué)時間不少于30分鐘的學(xué)生提供校車接送服務(wù)．為了解學(xué)生上學(xué)所需時間，從全校600名學(xué)生中抽取50人統(tǒng)計上學(xué)時間（單位：分鐘），現(xiàn)對600人隨機編號為001，002，…600．抽取50位學(xué)生上學(xué)時間均不超過60分鐘，將時間按如下方式分成六組，第一組上學(xué)時間在[0，10），第二組上學(xué)時間在[10，20），…第六組上學(xué)時間在[50，60]得到各組人數(shù)的頻率分布直方圖．如圖．
（Ⅰ）若抽取的50個樣本是用系統(tǒng)抽樣的方法得到，且第一段的號碼為006，則第五段抽取的號碼是什么？
（Ⅱ）若從50個樣本中屬于第4組和第6組的所有人中隨機抽取2人，設(shè)他們上學(xué)時間分別為a、b，求滿足|a-b|＞10的事件的概率；
（Ⅲ）設(shè)學(xué)校配備的校車每輛可搭載40名學(xué)生，請根據(jù)抽樣的結(jié)果估計全校應(yīng)有多少輛這樣的校車？

Answer 1

分析：（I）根據(jù)抽取的50個樣本，則應(yīng)將600人平均分成50組，每組12人，然后利用系統(tǒng)抽樣的原則，每組中抽出的號碼應(yīng)該等距即可；
（II）先由直方圖知第4組頻率和第6組頻率，然后利用頻數(shù)=樣本容量×頻率，求出第4組和第6組的人數(shù)，然后利用列舉法將從這六人中隨機抽取2人的所有情況逐一列舉出來，然后將滿足條件的也列舉出來，最后根據(jù)古典概型的計算公式進行求解即可．
（III）利用樣本估計總體的方法，先算出全校上學(xué)時間不少于30分鐘的學(xué)生約有多少人，從而估計全校需要幾輛校車．

解答：解：（I）600÷50=12，第一段的號碼為006，
第五段抽取的數(shù)是6+（5-1）×12=54，即第五段抽取的號碼是054
（II）第4組人數(shù)=0.008×10×50=4，這4人分別設(shè)為A、B、C、D
第6組人數(shù)=0.004×10×50=2，這2人分別設(shè)為x，y
隨機抽取2人的可能情況是：
AB  AC  AD  BC  BD  CD  xy  Ax  Ay  Bx  By  Cx  Cy  Dx  Dy
一共15種情況，其中他們上學(xué)時間滿足|a-b|＞10的情況有8種
所以滿足|a-b|＞10的事件的概率p=

8

15

（III）全校上學(xué)時間不少于30分鐘的學(xué)生約有600×（0.008+0.008+0.004）×10=120人
所以估計全校需要3輛校車．

點評：本題主要考查了系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣每個個體被抽到的概率相等，是等距抽樣，以及古典概型的概率問題，屬于基礎(chǔ)題．