Question

已知△OFQ的面積為2

6

，且

OF

•

FQ

=m．
（1）設

6

＜m＜4

6

，求向量

OF

與

FQ

的夾角θ正切值的取值范圍；
（2）設以O為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q（如圖），|

OF

|=c，m=(

6

4

-1)c2，當|

OQ

|取得最小值時，求此雙曲線的方程．
（3）設F₁為（2）中所求雙曲線的左焦點，若A、B分別為此雙曲線漸近線l₁、l₂上的動點，且2|AB|=5|F₁F|，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

分析：（1）由

1 2 •| OF |•| FQ |sin(π-θ)=2 6 | OF |•| FQ |cosθ=m

，知tanθ=

4 6

m

，由此能求出向量

OF

與

FQ

的夾角θ的正切值的取值范圍．
（2）設所求的雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，Q（x₁，y₁），

FQ

=(x1-c，y1)，S△OFQ=

1

2

|

OF

|•|y1|=2

6

，y1=±

4 6

c

，由(x1-c)•c=(

6

4

-1)c2，知|

OQ

|=

x 2 1 + y 2 1

=

96 c2 + 3c2 8

≥

12

．由此能求出此雙曲線的方程．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）l₁的方程為y=

3

x，l2的方程為y=-

3

x，有y1=

3

x1，y2=-

3

x2，由2|AB|=5|FF₁|，知2

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=5•2c=40，由此能求出線段AB的中點M的軌跡方程．

解答：解：（1）

1 2 •| OF |•| FQ |sin(π-θ)=2 6 | OF |•| FQ |cosθ=m

∴tanθ=

4 6

m

，
∴

6

＜m＜4

6

∴1＜tanθ＜4．
∴

π

4

＜θ＜arctan4．
（2）設所求的雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，Q(x1，y1)，則

FQ

=(x1-c，y1)
∴S△OFQ=

1

2

|

OF

|•|y1|=2

6

，
∴y1=±

4 6

c

又由(x1-c)•c=(

6

4

-1)c2，
∴x1=

6

4

c，
∴|

OQ

|=

x 2 1 + y 2 1

=

96 c2 + 3c2 8

≥

12

．
當且僅當c=4時，|

OQ

|最小，此時Q的坐標為(

6

，

6

)或(

6

，-

6

)
∴

6 a2 - 6 b2 =1 a2+b2=16

，
∴

a2=4 b2=12

，
∴所求方程為

x2

4

-

y2

12

=1．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）l₁的方程為y=

3

x，l2的方程為y=-

3

x
則有y1=

3

x1①y2=-

3

x2②
∵2|AB|=5|FF₁|
∴2

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=5•2c=40
∴

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=20③
設M（x，y）由①②得y1+y2=

3

(x1-x2)y1-y2=

3

(x1+x2)
∴2y=

3

(x1-x2)，y1-y2=2

3

x
∴x1-x2=

2y

3

，y1-y2=2

3

x
代入③得(

2y

3

)2+(2

3

x)2=400
∴

y2

300

+

x2

100 3

=1．
∴M的軌跡為焦點在y軸上的橢圓．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．