Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=kx2+（3+k）x+3，其中k為常數(shù)，且k≠0．
（1）若f（2）=3，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）﹣mx，若g（x）在區(qū)間[﹣2，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）是否存在k使得函數(shù)f（x）在[﹣1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（2）=3，可得4k+2（3+k）+3=3，∴k=﹣1

∴f（x）=﹣x2+2x+3

（2）解：由（1）得g（x）=f（x）﹣mx=﹣x2+（2﹣m）x+3，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=

∵g（x）在區(qū)間[﹣2，2]上是單調(diào)函數(shù)，

∴ 或

∴m≤﹣2或m≥6

（3）解：f（x）=kx2+（3+k）x+3的對(duì)稱軸為

①k＞0時(shí)，函數(shù)圖象開口向上， ，此時(shí)函數(shù)f（x）在[﹣1，4]上的最大值是f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，∴ ，不合題意，舍去；

②k＜0時(shí)，函數(shù)圖象開口向下， ，

1°若 ，即 時(shí)，函數(shù)f（x）在[﹣1，4]上的最大值是f（ ）=

∴k2+10k+9=0，∴k=﹣1或k=﹣9，符合題意；

2°若 ，即 時(shí)，函數(shù)f（x）在[﹣1，4]上遞增，最大值為f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，

∴ ，不合題意，舍去；

綜上，存在k使得函數(shù)f（x）在[﹣1，4]上的最大值是4，且k=﹣1或k=﹣9

【解析】（1）由f（2）=3，可得k的值，從而可得函數(shù)f（x）的表達(dá)式；（2）g（x）=f（x）﹣mx=﹣x2+（2﹣m）x+3，函數(shù)的對(duì)稱軸為x= ，根據(jù)g（x）在區(qū)間[﹣2，2]上是單調(diào)函數(shù)，可得 或 ，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）f（x）=kx2+（3+k）x+3的對(duì)稱軸為 ，分類討論，確定函數(shù)圖象開口向上，函數(shù)f（x）在[﹣1，4]上的單調(diào)性，利用最大值是4，建立方程，即可求得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．