Question

已知直線l₁：ax-y+1=0與l₂：x+ay+1=0（a∈R），給出如下結(jié)論：
①不論a為何值時(shí)，l₁與l₂都互相垂直；
②不論a為何值時(shí)，l₁與l₂都關(guān)于直線x+y=0對稱；
③當(dāng)a變化時(shí)，l₁與l₂分別經(jīng)過定點(diǎn)A（0，1）和B（-1，0）；
④當(dāng)a變化時(shí)，l₁與l₂的交點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓（除去原點(diǎn)）．
其中正確的結(jié)論有

①③④

．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：①l₁與l₂垂直時(shí)，利用兩直線垂直的充要條件可判斷；
②在l₁上任取點(diǎn)（x，ax+1），關(guān)于直線x+y=0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-ax-1，-x），代入l₂：x+ay+1=0的左邊，可得不為0，故可判斷；
③對于直線l₁與l₂分別令x=0，y=0，即可知直線恒過定點(diǎn)；
④聯(lián)立方程，消去參數(shù)，由方程可確定l₁與l₂的交點(diǎn)軌跡．

解答：解：①a×1-1×a=0恒成立，l₁與l₂垂直恒成立，故①正確；
②在l₁上任取點(diǎn)（x，ax+1），關(guān)于直線x+y=0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-ax-1，-x），
代入l₂：x+ay+1=0的左邊，顯然不為0，故②不正確；
③直線l₁：ax-y+1=0，當(dāng)a變化時(shí)，x=0，y=1恒成立，所以l₁經(jīng)過定點(diǎn)A（0，1）；
l₂：x+ay+1=0，當(dāng)a變化時(shí)，y=0，x=-1恒成立，所以l₂經(jīng)過定點(diǎn)B（-1，0），故③正確；
④聯(lián)立直線l₁：ax-y+1=0與l₂：x+ay+1=0，消去參數(shù)a可得：x²+x+y²-y=0（x≠0，y≠0），
∴當(dāng)a變化時(shí)，l₁與l₂的交點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓（除去原點(diǎn)），故④正確．
故答案為：①③④

點(diǎn)評：本題以直線為載體，考查兩直線的位置關(guān)系，考查直線的對稱性，考查直線恒過定點(diǎn)，考查軌跡，綜合性，需一一判斷．