Question

某種空氣清潔劑在實(shí)驗(yàn)效果時(shí)，發(fā)現(xiàn)空氣含劑量y（μg/m³）與時(shí)間x之間存在函數(shù)關(guān)系，其變化的圖象如下圖所示．其中的曲線部分是某函數(shù)y=log

1

2

（x+b）的圖象（虛線部分為曲線的延展）．圖中表明，噴灑1小時(shí)后，空氣含劑量最高，達(dá)到3μg/m³，以后逐步減小．
（1）求出空氣含劑量y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式及定義域．
（2）實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)空氣含劑量不低于2μg/m³時(shí)，空氣清潔的效果最佳．求一次噴灑的“最佳效果”持續(xù)時(shí)間．

Answer 1

分析：將點(diǎn)（1，3）分別代入y=kx，y=log

1

2

（x+b）中，求k、b，確定函數(shù)關(guān)系式，再把y=2代入兩個(gè)函數(shù)式中求t，把所求兩個(gè)時(shí)間t作差即可．

解答：解：（1）當(dāng)x≤1時(shí)，圖象是一線段，得解析式為y=kx，將點(diǎn)（1，3）坐標(biāo)代入得k=3，∴y=3x
把（1，3）坐標(biāo)代入y=log

1

2

（x+b）得．

log

(1+b) 1 2

=3，∴1+b=(

1

2

)3=

1

8

，∴b=-

7

8

∴y=

log	(x- 7 8 ) 1 2

∴，令y=0得x=

15

8

∴函數(shù)的解析式為：y=

3x，0≤x≤1 log (x- 7 8 ) 1 2 ，1≤x≤ 15 8

（2）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，在y=3x中令y=2得x₁=

2

3

，
當(dāng)1≤x≤

15

8

時(shí)，在y=

log	(x- 7 8 ) 1 2

中，令y=2得：

log	(x- 7 8 ) 1 2

=2，得x₂=

9

8

x=x2-x1=

9

8

-

2

3

=

11

24

故最佳效果持續(xù)時(shí)間為

11

24

小時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．解決實(shí)際問題關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．