Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意的n∈N^*都有S_n=2a_n-n，
（1）求數(shù)列{a_n}的前三項a₁，a₂，a₃；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式a_n，并用數(shù)學歸納法證明；
（3）求證：對任意n∈N^*都有

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+

1

a4-a3

+…+

1

an+1-an

＜1．

Answer 1

（1）令n=1得，S₁=2a₁-1=a₁，故a₁=1；
令n=2得，S₂=2a₂-2=a₁+a₂=1+a₂，故a₂=3；
令n=3得，S₃=2a₃-3=a₁+a₂+a₃=1+3+a₃，故a₃=7；
（2）由（1）可以猜想a_n=2ⁿ-1，下面用數(shù)學歸納法進行證明：
①當n=1時，結(jié)論顯然成立；
②假設(shè)當n=k時結(jié)論成立，即a_k=2^k-1，
從而由已知S_n=2a_n-n可得：S_k=2a_k-k=2（2^k-1）-k=2^k+1-k-2．
故S_k+1=2^k+2-k-3．
∴a_k+1=S_k+1-S_k=（2^k+2-k-3）-（2^k+1-k-2）=2^k+1-1．
即，當n=k+1時結(jié)論成立．
綜合①②可知，猜想a_n=2ⁿ-1成立．即，數(shù)列{a_n}的通項為a_n=2ⁿ-1．
（3）∵a_n=2ⁿ-1，
∴a_n+1-a_n=（2ⁿ⁺¹-1）-（2ⁿ-1）=2ⁿ，
∴

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+

1

a4-a3

++

1

an+1-an

=

1

2

+

1

22

+

1

23

++

1

2n

=1-

1

2n

＜1，
∴對任意n∈N^*都有

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+

1

a4-a3

++

1

an+1-an

＜1．