Question

如圖，已知AF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：AC⊥平面BCE；
（3）求三棱錐E-BCF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）AF∥BE，BE?平面BCE，AF?平面BCE，運用判定定理可判斷．
（2）運用勾股定理可判斷AC⊥BC，再根據(jù)線面的轉(zhuǎn)化，AF⊥平面ABCD，AF∥BE，BE⊥平面ABCD，BE⊥AC，得出AC⊥平面BCE，
（3）CM⊥平面ABEF，V_E-BCF=V_C-BEF得出體積即可判斷．

解答： 解：（1）∵四邊形ABEF為矩形，
∴AF∥BE，BE?平面BCE，AF?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．

（2）過C作CM⊥AB，垂足為M，
∵AD⊥DC，∴四邊形ADCM為矩形，
∴AM=MB=2
∵AD=2，AB=4．
∴AC=2

2

，CM=2，BC=2

2

，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，
∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
∴BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥AC，
∵BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC∩BE=B，
∴AC⊥平面BCE．

（3）∵AF⊥平面ABCD，AF⊥CM，
∵CM⊥AB，AF?平面ABEF，AB?平面ABEF，AF∩AB=A，
∴CM⊥平面ABEF，
∴V_E-BCF=V_C-BEF=

1

3

×

1

2

×BE×CM=

1

6

×2×4×2．

點評：本題綜合考查了空間直線，幾何體的平行，垂直問題，求解體積，屬于中檔題．