Question

（2012•桂林模擬）設(shè)F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，過左焦點F₁的直線與橢圓交于A、B兩點，若△ABF₂是以AF₂為斜邊的等腰直角三角形，則該橢圓的離心率是（　�。�

• A．

  6

  -

  3

• B．

  6

  -2
• C．

  6 + 3

  3

• D．9-6

  2

Answer 1

分析：由△ABF₂是等腰直角三角形可知|AF₂|=

2

|AB|=|

2

BF₂|，設(shè)|AB|=|BF₂|=m，則|AF₂|=

2

m，根據(jù)橢圓的定義可建立m，a之間的關(guān)系，然后根據(jù)B為直角，根據(jù)勾股定理可得a，c直角的關(guān)系，可求離心率

解答：解：由△ABF₂是等腰直角三角形可知|AF₂|=

2

|AB|=|

2

BF₂|，
設(shè)|AB|=|BF₂|=m，則|AF₂|=

2

m
由橢圓定義可知，AF₁=2a-

2

m，BF₁=（1+

2

）m-2a，BF₂=4a-（

2

+1）m
∴BF₂=4a-（

2

+1）m=m
∴m=（4-2

2

）a
∵B=90°
∴BF12+BF22=F1F22
∴4(

2

-1)2a2+4(2-

2

)2a2=4c²
整理可得，

c2

a2

=9-6

2

∴e=

c

a

=

6

-

3

故選A

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．橢圓的離心率是高考中選擇填空題常考的題目．應(yīng)熟練掌握圓錐曲線中a，b，c和e的關(guān)系．