Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值，求a的值；
（2）在滿足（1）的條件下，求函數(shù)f（x）在[-2，0]上的最值及相應自變量x的值；
（3）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導，然后根據(jù)f'（-1）=0可求a的值．
（2）將（1）中a的值代入確定函數(shù)f（x）的解析式后求導數(shù)，然后根據(jù)導函數(shù)的正負情況判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值點，進而可求出在[-2，0]上的最值及相應自變量x的值．
（3）對函數(shù)f（x）進行求導得到f'（x）=3x²+2ax+1為二次函數(shù)，當△≤0時，f'（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；當△＞0時，求出兩根，然后求出對應的f'（x）＞0和f'（x）＜0的x的范圍即可得到原函數(shù)單調(diào)增減區(qū)間．
解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+1
因為函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值所以f'（-1）=0
解得a=2
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²+x+1，f'（x）=3x²+4x+1
令f'（x）=3x²+4x+1=0解得

從上表可以看出，f（x）_極大值=1＞0，
所以函數(shù)f（x）有零點且只有一個5
又函數(shù)f（x）在[-2，-1]上連續(xù)，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函數(shù)f（x）的零點介于-2和-1之間．7

（3）f'（x）=3x²+2ax+1，△=4a²-12=4（a²-3）
當a²≤3，即時，△≤0，f'（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)
當a²＞3，即時，△＞0，
解f'（x）=0得兩根為，（顯然x₁＜x₂）
當x∈（-∞，x₁）時f'（x）＞0；x∈（x₁，x₂）時f'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時f'（x）＞0
所以函數(shù)f（x）在，上是增函數(shù)；
在上是減函數(shù)14
綜上：當時，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
當時，函數(shù)f（x）在，上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關系．屬基礎題．