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如圖,已知橢圓G:的右準線l1:x=4與x軸交與點M,點A,F2分別是的右頂點和右焦點,且MA=2AF2.過點A作斜率為-1的直線l2交橢圓于另一點B,以AB為底邊作等腰三角形ABC,點C恰好在直線l1上.
(1)求橢圓G的方程;
(2)求△ABC的面積.

【答案】分析:(1)由MA=2AF2,得橢圓的離心率為,從而a=2c,又橢圓的右準線l1:x=4,所以,所以a=2,c=1,從而可求橢圓G的方程;
(2)直線l2的方程為y=-x+2,解方程組,可得,所以AB中點,從而可得AB的垂直平分線方程為,由此可求,所以,,故可求△ABC的面積.
解答:解:(1)由MA=2AF2,得橢圓的離心率為,即a=2c.
又橢圓的右準線l1:x=4,所以,所以a=2,c=1.
所以求橢圓G的方程為
(2)∵過點A作斜率為-1的直線l2,
∴直線l2的方程為y=-x+2,
解方程組,得,即
∵A(2,0),∴,
所以AB中點
AB的垂直平分線方程為,即,
令x=4,得,即
所以,
所以△ABC的面積
點評:本題以橢圓的性質為載體,考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查三角形的面積,綜合性強.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,已知圓G:(x-2)2+y2=r2是橢圓
x216
+y2=1
的內接△ABC的內切圓,其中A為橢圓的左頂點,
(1)求圓G的半徑r;
(2)過點M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E,F兩點,證明:直線EF與圓G相切.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知橢圓G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右準線l1:x=4與x軸交與點M,點A,F2分別是的右頂點和右焦點,且MA=2AF2.過點A作斜率為-1的直線l2交橢圓于另一點B,以AB為底邊作等腰三角形ABC,點C恰好在直線l1上.
(1)求橢圓G的方程;
(2)求△ABC的面積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2003•北京)如圖,已知橢圓的長軸A1A2與x軸平行,短軸B1B2在y軸上,中心M(0,r)(b>r>0
(Ⅰ)寫出橢圓方程并求出焦點坐標和離心率;
(Ⅱ)設直線y=k1x與橢圓交于C(x1,y1),D(x2,y2)(y2>0),直線y=k2x與橢圓次于G(x3,y3),H(x4,y4)(y4>0).求證:
k1x1x2
x1+x2
=
k1x3x4
x3+x4

(Ⅲ)對于(Ⅱ)中的在C,D,G,H,設CH交x軸于P點,GD交x軸于Q點,求證:|OP|=|OQ|
(證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形)

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖,已知橢圓G:數學公式的右準線l1:x=4與x軸交與點M,點A,F2分別是的右頂點和右焦點,且MA=2AF2.過點A作斜率為-1的直線l2交橢圓于另一點B,以AB為底邊作等腰三角形ABC,點C恰好在直線l1上.
(1)求橢圓G的方程;
(2)求△ABC的面積.

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