已知f（x）=數(shù)學公式，g（x）=數(shù)學公式．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）分別計算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函數(shù)f（x）和g（x）對所有不等于零的實數(shù)x都成立的一個等式，并加以證明．

解：

（1）函數(shù)f（x）的定義域是{x|x≠0}，
∵f（-x）=，
∴f（x）是奇函數(shù)．…
設(shè)0＜x1＜x2，=，
∵y=x3r上是增函數(shù)，故，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
又∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（-∞，0）和（0，+∞）．
（2）

=，．
同理f（9）-5f（3）g（3）=0．猜想：f（x2）-5f（x）g（x）=0 
證明：

∵．
∴等式成立．


分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性的定義證明，利用單調(diào)性的定義確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）分別求出f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，然后根據(jù)規(guī)律得到結(jié)論．
點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，綜合性較強．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）對一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=lnx，g（x）=
1
2
x2+mx+
7
2
（m＜0），直線l與函數(shù)f（x）的圖象相切，切點的橫坐標為1，且直線l與函數(shù)g（x）的圖象也相切．
（1）求直線l的方程及實數(shù)m的值；
（2）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g(shù)′（x）是g（x）的導函數(shù)），求函數(shù)h（x）的最大值；
（3）當0＜b＜a時，求證：f（a+b）-f（2a）＜
b-a
2a
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=x2，g（x）=（
1
2
）x-m．若對任意x1∈[-1，3]，總存在x2∈[0，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ex，g（x）=lnx．
（Ⅰ）求證：g（x）＜x＜f（x）；
（Ⅱ）設(shè)直線l與f（x）、g（x）均相切，切點分別為（x1，f（x1））、（x2，g（x2）），且x1＞x2＞0，求證：x1＞1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=2x，g（x）=3x．
（1）當x為何值時，f（x）=g（x）？
（2）當x為何值時，f（x）＞1？f（x）=1？f（x）＜1？
（3）當x為何值時，g（x）＞3？g（x）=3？g（x）＜3？

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