Question

（2011•懷柔區(qū)一模）已知集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個(gè)數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分別求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）對(duì)于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，猜測(cè)a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值最多有多少個(gè)；
（Ⅲ）若集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，試求l（A）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題中的有關(guān)新定義并且結(jié)合題中所給的集合即可得到l（P）和l（Q）的答案．
（II）根據(jù)組合的有關(guān)知識(shí)可得：

C

2 n

=

n(n-1)

2

個(gè)，再結(jié)合題中所給的定義解釋即可得到答案．
（Ⅲ） 由題意可得：l(A)≤

n(n-1)

2

，再分情況討論當(dāng)j≠l時(shí)與當(dāng)j=l，i≠k時(shí)，均有a_i+a_j≠a_k+a_l，進(jìn)而得到l(A)=

n(n-1)

2

．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)榧�合P={2，4，6，8}，
所以2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，
所以可得：l（P）=5．
因?yàn)榧�合Q={2，4，8，16}，
所以2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，
所以可得：l（Q）=6．
（Ⅱ）對(duì)于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值最多有

n(n-1)

2

個(gè)．
因?yàn)樵诩�合A的n個(gè)元素中任取一個(gè)元素，共有n種，再?gòu)挠嘞碌膎-1個(gè)元素中任取一個(gè)元素，
共有n-1種．把取出的元素兩兩作和共有n（n-1）個(gè)，
因?yàn)閍_j+a_i=a_i+a_j等情況，
所以對(duì)于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值最多有

n(n-1)

2

個(gè)．
（Ⅲ） 因?yàn)榧�合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}最多有

n(n-1)

2

個(gè)a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值，
所以l(A)≤

n(n-1)

2

．
又集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，任取a_i+a_j，a_k+a_l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），
當(dāng)j≠l時(shí)，不妨設(shè)j＜l，則a_i+a_j＜2a_j=2^j+1≤a_l＜a_k+a_l，即a_i+a_j≠a_k+a_l．
當(dāng)j=l，i≠k時(shí)，a_i+a_j≠a_k+a_l．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)i=k，j=l時(shí)，a_i+a_j=a_k+a_l．
即所有a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值兩兩不同，
所以l(A)=

n(n-1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合與元素的關(guān)系，以及組合的有關(guān)知識(shí)，認(rèn)真審題，正確的理解題意并且仔細(xì)解答是解題的關(guān)鍵點(diǎn)．