Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)C．
（1）證明：∠ACF=∠BCF；
（2）求∠ACB的最大值，并求∠ACB取得最大值時(shí)線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)知，F(xiàn)（，0），C（-，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l方程為x=my+，代入拋物線方程y²=2px求得y²-2pmy-p²=0，由韋達(dá)定理可求得y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²，
從而可求得tan∠ACF=tan∠BCF；
（2）設(shè)y₁＞0，利用基本不等式可求得tan∠ACF=≤=1，當(dāng)且僅當(dāng)y₁=p時(shí)取等號(hào)，從而可得∠ACF取最大值，繼而可求∠ACB取得最大值時(shí)線段AB的長(zhǎng)．
解答：證明：（Ⅰ）由題設(shè)知，F(xiàn)（，0），C（-，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l方程為x=my+，
代入拋物線方程y²=2px，得y²-2pmy-p²=0．
y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²．…（4分）
不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0，則
tan∠ACF=====，
同理可得tan∠BCF==，
∴tan∠ACF=tan∠BCF，
∴∠ACF=∠BCF．…（8分）
（Ⅱ）如（Ⅰ）所設(shè)y₁＞0，tan∠ACF=≤=1，當(dāng)且僅當(dāng)y₁=p時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)∠ACF取最大值，
∴∠ACB=2∠ACF取最大值，
并且A（，p），B（，-p），|AB|=2p．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，著重考查韋達(dá)定理與拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查基本不等式，屬于難題．