Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知(a4-1)3+2012(a4-1)=1，(a2009-1)3+2012(a2009-1)=-1，則下列結(jié)論中正確的是（　　）

A．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₀₉＜a₄

B．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₀₉＞a₄

C．S₂₀₁₂=2011，a₂₀₀₉＜a₄

D．S₂₀₁₂=2011，a₂₀₀₉＞a₄

Answer 1

分析：先確定等差數(shù)列的公差d＜0，再將條件相加，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求得結(jié)論．

解答：解：由（a₄-1）³+2012（a₄-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2012（a₂₀₀₉-1）=-1
可得a₄-1＞0，-1＜a₂₀₀₉-1＜0，即a₄＞1，0＜a₂₀₀₉＜1，從而可得等差數(shù)列的公差d＜0
∴a₂₀₀₉＜a₄，
把已知的兩式相加可得（a₄-1）³+2012（a₄-1）+（a₂₀₀₉-1）³+2012（a₂₀₀₉-1）=0
整理可得（a₄+a₂₀₀₉-2）•[（a₄-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₄-1）（a₂₀₀₉-1）+2012]=0
結(jié)合上面的判斷可知（a₄-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₄-1）（a₂₀₀₉-1）+2012＞0
所以a₄+a₂₀₀₉=2，而s2012=

2012

2

（a₁+a₂₀₁₂）=

2012

2

（a₄+a₂₀₀₉）=2012
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用，靈活利用等差數(shù)列的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．