Question

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點(diǎn)(2，0)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)＜ 時(shí)，求實(shí)數(shù)取值范圍．

Answer 1

（1） ；( Ⅱ).

試題分析：（1）由題意知，所以．由此能求出橢圓C的方程．（2）由題意知直線AB的斜率存在．設(shè)AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），由得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0再由根的判別式和嘏達(dá)定理進(jìn)行求解．
解：（1）由題意知， 所以．
即．    2分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051002824661.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，．
故橢圓的方程為．  4分
（2）由題意知直線的斜率存在.
設(shè)：，，，，
由得.
，.   6分
，.
∵，∴，，
.
∵點(diǎn)在橢圓上，∴，
∴. 8分
∵＜，∴，∴
∴，
∴，∴. 10分
∴，∵，∴，
∴或，∴實(shí)數(shù)t取值范圍為．（12分）