Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD=5，PD=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PB，DC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求EF與平面PDB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 取CB的中點(diǎn)G，連結(jié)DG，建立空間直角坐標(biāo)系：
（1）$\overrightarrow{DG}$=（12，0，0）為平面PAD的一個(gè)法向量，根據(jù)$\overrightarrow{EF}⊥\overrightarrow{DG}$，進(jìn)而可證EF∥面PAD
（2）平面PAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（5，-12，0），代和線面夾角公式，可得答案．

解答 證明：取CB的中點(diǎn)G，連結(jié)DG，因?yàn)锳D∥BG且AD=BD，
所以四邊形ABGD為平行四邊形，
所以DG=AB=12，
又因?yàn)锳B⊥AD，
所以DG⊥AD，
又PD⊥平面ABCD，
故以點(diǎn)D原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．…（2分）

因?yàn)锽C=10，AD=5，PD=8，
所以有D（0，0，0），P（0，0，8），B（12，5，0），C（12，-5，0），
因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PB，DC的中點(diǎn)，
所以E（6，-2.5，0），F(xiàn)（6，2.5，4），
（1）因?yàn)镻D⊥平面ABCD，DG?平面ABCD，
所以PD⊥DG，
又因?yàn)镈G⊥AD，AD∩PD=D，AD，PD?平面PAD，
所以DG⊥平面PAD，
所以$\overrightarrow{DG}$=（12，0，0）為平面PAD的一個(gè)法向量，…（5分）
又$\overrightarrow{EF}$=（0，5，4），$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{DG}$=0，
所以$\overrightarrow{EF}⊥\overrightarrow{DG}$，
又EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD；…（7分）
（2）設(shè)平面PAD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
所以$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DB}\\ \overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DP}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}12x+5y=0\\ 8z=0\end{array}\right.$，
令x=5，則$\overrightarrow{n}$=（5，-12，0）…（10分）
所以EF與平面PDB所成角θ滿足：
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{\left|\overrightarrow{EF}\right|•\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{60}{13•\sqrt{41}}$=$\frac{60}{533}\sqrt{41}$，…（13分）
所以EF與平面PDB所成角的正弦值為$\frac{60}{533}\sqrt{41}$…（14分）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的證明，直線與平面的夾角，難度中檔．