Question

平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程是

x=t y= 3 t

（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ²cos²θ+ρ²sin²θ-2ρsinθ-3=0．
（1）求直線l的極坐標方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析：（1）將直線化成普通方程，可得它是經(jīng)過原點且傾斜角為

π

3

的直線，由此不難得到直線l的極坐標方程；
（2）將直線l的極坐標方程代入曲線C極坐標方程，可得關(guān)于ρ的一元二次方程，然后可以用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合配方法，可以得到AB的長度．

解答：解：（1）直線l的參數(shù)方程是

x=t y= 3 t

（t為參數(shù)），化為普通方程得：y=

3

x
∴在平面直角坐標系中，直線l經(jīng)過坐標原點，傾斜角是

π

3

，
因此，直線l的極坐標方程是θ=

π

3

，（ρ∈R）；     …（5分）
（2）把θ=

π

3

代入曲線C的極坐標方程ρ²cos²θ+ρ²sin²θ-2ρsinθ-3=0，得ρ²-

3

ρ-3=0
∴由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得ρ₁+ρ₂=

3

，ρ₁ρ₂=-3，
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|=

(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2

=

15

．  …（10分）

點評：本題以參數(shù)方程和極坐標方程為例，考查了兩種方程的互化和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識點，屬于基礎(chǔ)題．