Question

函數(shù)f（x）=

1

3

x3+

1

2

（2-a）x²-2ax+5在區(qū)間[-1，1]上不單調(diào)，則a的取值范圍是_{____}．

Answer 1

分析：先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)原函數(shù)在[-1，1]上不單調(diào)，說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)在[-1，1]上不恒大于0或恒小于0，然后結(jié)合三個(gè)二次的關(guān)系列式求解a的取值范圍．

解答：解：因?yàn)?span id="0dl8dm5" class="MathJye">f(x)=

1

3

x3+

1

2

(2-a)x2-2ax+5，
所以f^′（x）=x²+（2-a）x-2a，又函數(shù)f（x）在[-1，1]上不單調(diào)，所以在[-1，1]上f^′（x）的值有正有負(fù)，
函數(shù)為二次函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸方程為x=

a

2

-1，
當(dāng)

a

2

-1＜-1時(shí)，需要

f′(-1)＜0 f′(1)＞0

，即

(-1)2+(2-a)×(-1)-2a＜0 12+(2-a)×1-2a＞0

，解得：-1＜a＜0
當(dāng)

a

2

-1＞1時(shí)，需要

f′(-1)＞0 f′(1)＜0

，即

(-1)2+(2-a)×(-1)-2a＞0 12+(2-a)×1-2a＜0

，解得：a∈∅
當(dāng)-1≤

a

2

-1＜0時(shí)，需要

△=(2-a)2-4×1×(-2a)＞0 f′(1)=12+(2-a)×1-2a＞0

，解得：0≤a＜1
當(dāng)0＜

a

2

-1≤1時(shí)，需要

△=(2-a)2-4×1×(-2a)＞0 f′(-1)=(-1)2+(2-a)×(-1)-2a＞0

，解得：a∈∅
當(dāng)

a

2

-1=0時(shí)，需要

△=(2-a)2-4×1×(-2a)＞0 f′(-1)=(-1)2+(2-a)×(-1)-2a＞0 f′(1)=12+(2-a)×1-2a＞0

，解得：a∈∅
綜上所述，a的取值范圍是-1＜a＜1．
故答案為（-1，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，分析導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的符號(hào)時(shí)，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．屬易錯(cuò)題．