已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一個極值點．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若當x∈[1，3]時，f(x)-a2＞
2
3
恒成立，求a的取值范圍．
分析：（I）先求導函數(shù)，然后根據(jù)x=2是f（x）的一個極值點建立等式關系，求出b，然后解不等式f′（x）＞0即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（II）先利用導數(shù)求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值，若當x∈[1，3]時，要使f(x)-a2＞
2
3
恒成立，只需f(x) min＞a2+
2
3
，即可求出a的范圍．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2-2bx+2．--------------------------------------------------------------（1分）
∵x=2是f（x）的一個極值點，
∴x=2是方程x2-2bx+2=0的一個根，解得b=
3
2
．---------------------------（3分）
令f′（x）＞0，則x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2．---------------------------（5分）
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞）．--------------------------（6分）
（Ⅱ）∵當x∈（1，2）時f′（x）＜0，x∈（2，3）時f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，f（x）在（2，3）上單調(diào)遞增．--------（8分）
∴f（2）是f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值，且 f(2)=
2
3
+a．--------------（10分）
若當x∈[1，3]時，要使f(x)-a2＞
2
3
恒成立，只需f(2)＞a2+
2
3
，----（12分）
即
2
3
+a＞a2+
2
3
，解得 0＜a＜1．----------------------------------------------------（13分）
點評：本題主要考查了函數(shù)的極值，單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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