已知三點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），C(-1，
3
2
)，曲線E過(guò)C點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，并保持|PA|+|PB|的值不變．
（I）求曲線E的方程；
（II）若C、M（x1，y1），N（x2，y2）是曲線E上的不同三點(diǎn)，直線CM、CN的傾斜角互補(bǔ)．問(wèn)直線MN的斜率是否是定值？如果是，求出該定值，如果不是，說(shuō)明理由．
（I）由題意知2a=|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=4＞2=|AB|=2c，（3分）
∴由定義得P點(diǎn)軌跡是橢圓，
且b2=a2-c2=3．
因此，曲線E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1.（5分）
（II）由條件知直線CM，CN的斜率存在且不為0，
設(shè)直線CM的方程為y=k(x+1)+
3
2
，
由
x2
4
+
y2
3
=1
y=k(x+1)+
3
2
消去y，
整理得（4k2+3）x2+4k（2k+3）x+4k2+12k-3=0
∵C在橢圓上，
∴方程兩根為-1，x1∴-x1=
4k2+12k-3
4k2+3
，x1=-
4k2+12k-3
4k2+3
.（9分）
∵直線PM，PN的傾斜角互補(bǔ)，
∴直線PM，PN的斜率互為相反數(shù)，
∴x2=-
4k2-12k-3
4k2+3
.（11分）
則x1-x2=
-24k
4k2+3
，x1+x2=
6-8k2
4k2+3
.
又y1=k(x1+1)+
3
2
，y2=-k(x2+1)+
3
2
，
∴y1-y2=k(x1+x2+2)=k(
6-8k2
4k2+3
+2)=
12k
4k2+3
.
∴直線MN的斜率KMN=
y1-y2
x1-x2
=-
1
2
（定值）（13分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知三點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），C（-1，
3
2
），以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)點(diǎn)D（0，1），是否存在不平行于x軸的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N，使(
DM
+
DN
)•
MN
=0？若存在，求出直線l斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（III）若對(duì)于y軸上的點(diǎn)P（0，n）（n≠0），存在不平行于x軸的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N，使(
PM
+
PN
)•
MN
=0，試求n的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xoy中，已知三點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），C（-1，
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2
）；以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)點(diǎn)D（0，1），是否存在不平行于x軸的直線l，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，使（
PM
+
PN
）•
MN
=0？
若存在．求出直線l斜率的取值范圍；
（3）對(duì)于y軸上的點(diǎn)P（0，n）（n≠0），存在不平行于x軸的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N，使（
PM
+
PN
）•
MN
=0，試求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知 三點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（2，5），求cos∠BAC=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知三點(diǎn)A（1，0，0），B（3，1，1），C（2，0，1），則
AB
在
AC
方向上的投影為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知三點(diǎn)A（1，0），B（-1，0），C（1，2），求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A并且與直線BC垂直的直線?的方程．

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